B-树 #

概念 #

什么是B-树呢？B-树全名 Balance Tree，读做B树(中间的-，只是分隔作用，不要读做B减树哦)。

B-树是一种多路自平衡的搜索树（B树是一颗多路平衡查找树）它类似普通的平衡二叉树，不同的一点是B-树允许每个节点有更多的子节点。B-Tree能加快数据的访问速度，因为存储引擎不再需要进行全表扫描来获取数据，数据分布在各个节点之中。

术语 #

m阶B-树结点下最多有m颗子树（指针），结点内有m-1个关键字（存的数据，空间）(m>=2)
除根结点和叶子结点外，其它每个结点至少有 ceil(m/2)个子结点，ceil向上取整
若根结点不是叶子结点，则至少有两颗子树

特点 #

B-树有如下特点:

所有键值分布在整颗树中（索引值和具体data都在每个节点里）；
任何一个关键字出现且只出现在一个结点中；
搜索有可能在非叶子结点结束（最好情况O(1)就能找到数据）；
在关键字全集内做一次查找,性能逼近二分查找；

使用背景 #

定义：B-树是一类树，包括B-树、B+树、B*树等，是一棵自平衡的搜索树，它类似普通的平衡二叉树，不同的一点是B-树允许每个节点有更多的子节点。 B-树是专门为外部存储器设计的，如磁盘，它对于读取和写入大块数据有良好的性能，所以一般被用在文件系统及数据库中。

传统用来搜索的平衡二叉树有很多，如 AVL 树，红黑树等。这些树在一般情况下查询性能非常好，但当数据非常大的时候它们就无能为力了。原因当数据量非常大时，内存不够用，大部分数据只能存放在磁盘上，只有需要的数据才加载到内存中。一般而言内存访问的时间约为 50 ns，而磁盘在 10 ms 左右。速度相差了近 5 个数量级，磁盘读取时间远远超过了数据在内存中比较的时间。这说明程序大部分时间会阻塞在磁盘 IO 上。那么我们如何提高程序性能？减少磁盘 IO 次数，像 AVL 树，红黑树这类平衡二叉树从设计上无法“迎合”磁盘。

上图是一颗简单的平衡二叉树，平衡二叉树是通过旋转来保持平衡的，而旋转是对整棵树的操作，若部分加载到内存中则无法完成旋转操作。其次平衡二叉树的高度相对较大为 log n（底数为2），这样逻辑上很近的节点实际可能非常远，无法很好的利用磁盘预读（局部性原理），所以这类平衡二叉树在数据库和文件系统上的选择就被 pass 了。

空间局部性原理：如果一个存储器的某个位置被访问，那么将它附近的位置也会被访问。

我们从“迎合”磁盘的角度来看看B-树的设计。

索引的效率依赖与磁盘 IO 的次数，快速索引需要有效的减少磁盘 IO 次数，如何快速索引呢？索引的原理其实是不断的缩小查找范围，就如我们平时用字典查单词一样，先找首字母缩小范围，再第二个字母等等。平衡二叉树是每次将范围分割为两个区间。为了更快，B-树每次将范围分割为多个区间，区间越多，定位数据越快越精确。那么如果节点为区间范围，每个节点就较大了。所以新建节点时，直接申请页大小的空间（磁盘存储单位是按 block 分的，一般为 512 Byte。磁盘 IO 一次读取若干个 block，我们称为一页，具体大小和操作系统有关，一般为 4 k，8 k或 16 k），计算机内存分配是按页对齐的，这样就实现了一个节点只需要一次 IO。

上图是一棵简化的B-树，多叉的好处非常明显，有效的降低了B-树的高度，为底数很大的 log n，底数大小与节点的子节点数目有关，一般一棵B-树的高度在 3 层左右。层数低，每个节点区确定的范围更精确，范围缩小的速度越快（比二叉树深层次的搜索肯定快很多）。上面说了一个节点需要进行一次 IO，那么总 IO 的次数就缩减为了 log n 次。B-树的每个节点是 n 个有序的序列(a1,a2,a3…an)，并将该节点的子节点分割成 n+1 个区间来进行索引(X1< a1, a2 < X2 < a3, … , an+1 < Xn < anXn+1 > an)。

点评：B树的每个节点，都是存多个值的，不像二叉树那样，一个节点就一个值，B树把每个节点都给了一点的范围区间，区间更多的情况下，搜索也就更快了，比如：有1-100个数，二叉树一次只能分两个范围，0-50和51-100，而B树，分成4个范围 1-25， 25-50，51-75，76-100一次就能筛选走四分之三的数据。所以作为多叉树的B树是更快的

插入 #

演示网站：B-Tree Visualization (usfca.edu)

假设是一个三阶的B-树，插入1，2，3，4，5，6。

直接在一个结点中插入1，2。

这时结点空间已经满了，如果再插一个需要进行分裂操作。具体操作就是假设3插入了结点之中，这时去中间的位置分裂，作为新的结点。

继续插入4

插入5的时候需要再次分裂。

插入6,完成。

删除 #

加入已经有了一个三阶的B-树，如下：

随便删除一个值，比如3：

随便删除一个值，比如6：

随便删除一个值，比如1：

总结：删除值之后看是否有值可以移到叶子结点。

B+树 #

概述 #

（MySQL使用B+Tree）是B-Tree的改进版本，同时也是数据库索引索引所采用的存储结构。数据都在叶子节点上，并且增加了顺序访问指针，每个叶子节点都指向相邻的叶子节点的地址。相比B-Tree来说，进行范围查找时只需要查找两个节点，进行遍历即可。而B-Tree需要获取所有节点，相比之下B+Tree效率更高（索引失效时遍历全部结点的效率也很高）。

B+tree性质：

n棵子tree的节点包含n个关键字，不用来保存数据而是保存数据的索引。
所有的叶子结点中包含了全部关键字的信息，及指向含这些关键字记录的指针，且叶子结点本身依关键字的大小自小而大顺序链接。
所有的非终端结点可以看成是索引部分，结点中仅含其子树中的最大（或最小）关键字。
B+ 树中，数据对象的插入和删除仅在叶节点上进行。
B+树有2个头指针，一个是树的根节点，一个是最小关键码的叶节点。

背景 #

B树所有的结点都会存数据，这样在范围查询的时候往往相当于全表查询。与B树不同，B+树在所有的非叶子结点中都不存储数据，在叶子结点上增加一个双向链表。这样就使得在做范围查询的时候只要查两个结点。

B-树和B+树的区别 #

B+树内节点不存储数据，所有 data 存储在叶节点导致查询时间复杂度固定为 log n。而B-树查询时间复杂度不固定，与 key 在树中的位置有关，最好为O(1)。

如下所示B-树/B+树查询节点 key 为 50 的 data。

B-树：

从上图可以看出，key 为 50 的节点就在第一层，B-树只需要一次磁盘 IO 即可完成查找。所以说B-树的查询最好时间复杂度是 O(1)。

B+树：

由于B+树所有的 data 域都在根节点，所以查询 key 为 50的节点必须从根节点索引到叶节点，时间复杂度固定为 O(log n)。

点评：B树的由于每个节点都有key和data，所以查询的时候可能不需要O(logn)的复杂度，甚至最好的情况是O(1)就可以找到数据，而B+树由于只有叶子节点保存了data，所以必须经历O(logn)复杂度才能找到数据

B+树叶节点两两相连可大大增加区间访问性，可使用在范围查询等，而B-树每个节点 key 和 data 在一起，则无法区间查找。

根据空间局部性原理：如果一个存储器的某个位置被访问，那么将它附近的位置也会被访问。

B+树可以很好的利用局部性原理，若我们访问节点 key为 50，则 key 为 55、60、62 的节点将来也可能被访问，我们可以利用磁盘预读原理提前将这些数据读入内存，减少了磁盘 IO 的次数。 当然B+树也能够很好的完成范围查询。比如查询 key 值在 50-70 之间的节点。

点评：由于B+树的叶子节点的数据都是使用链表连接起来的，而且他们在磁盘里是顺序存储的，所以当读到某个值的时候，磁盘预读原理就会提前把这些数据都读进内存，使得范围查询和排序都很快

B+树更适合外部存储。由于内节点无 data 域，每个节点能索引的范围更大更精确

这个很好理解，由于B-树节点内部每个 key 都带着 data 域，而B+树节点只存储 key 的副本，真实的 key 和 data 域都在叶子节点存储。前面说过磁盘是分 block 的，一次磁盘 IO 会读取若干个 block，具体和操作系统有关，那么由于磁盘 IO 数据大小是固定的，在一次 IO 中，单个元素越小，量就越大。这就意味着B+树单次磁盘 IO 的信息量大于B-树，从这点来看B+树相对B-树磁盘 IO 次数少。